动态规划

题目

假设你正在爬楼梯。需要n阶你才能到达楼顶。每次你可以爬1或2个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定n是一个正整数

示例1

  • 输入： 2
  • 输出： 2
  • 解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
    • 1 阶 + 1 阶
    • 2 阶

示例2

  • 输入： 3
  • 输出： 3
  • 解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
    • 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
    • 1 阶 + 2 阶
    • 2 阶 + 1 阶

《代码随想录》算法公开课
力扣题目链接

思路

首先，我们举几个栗子：
爬到第一层阶梯只有 一种方法
爬到第二层阶梯有两种方法
爬到第三层阶梯可以由第一层阶梯跨两步，或者由第二层阶梯跨一步
爬到第四层阶梯可以由第二层阶梯跨两步，或者由第三层阶梯跨一步

由此我们得到规律：dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]，其中i为阶梯数，dp[i]为爬i层阶梯上顶层得方法数

动态规划五部曲

  1. 确定dp数组以及下标的含义
    dp[i]： 爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法
  2. 确定递推公式
    dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
  3. dp数组初始化
    需要注意的是：题目中说了n是一个正整数，题目根本就没说n有为0的情况，即只有dp[1]=1,dp[2]=2。
  4. 确定遍历顺序
    从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的
  5. 举例推导dp数组

代码实现

1
2
3
4
5
6
7
8
9
public int climbStairs(int n) {
    int[] dp = new int[n + 1];
    dp[0] = 1;
    dp[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}

接下来，难度升级，挑战另一个爬楼梯小问题吧！

题目

给你一个整数数组cost，其中cost[i]是从楼梯第i个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。你可以选择从下标为0或下标为1的台阶开始爬楼梯。请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例1

  • 输入：cost = [10, 15 ,20]
  • 输出：15
  • 解释：你将从下标为 1 的台阶开始。
    • 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
      总花费为 15 。

示例2

  • 输入：cost = [1 ,100,1 ,1,1 ,100,1 ,1 ,100,1]
  • 输出：6
  • 解释：你将从下标为 0 的台阶开始。
    • 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
    • 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
    • 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
    • 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
    • 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
    • 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
      总花费为 6 。

“《代码随想录》算法公开课”
“力扣题目链接”

思路

首先我们要知道题目中说的从0或者1开始爬楼梯，便是告诉我们到达0或者1台阶是不需要花费体力，从0或者1向上跳就需要花费体力。

动态规划五步曲

  1. 确定dp数组以及下标的含义
    dp[i]的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。

  2. 确定递推公式
    可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]
    dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。
    dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。
    即dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);

注：给定数组从0索引开始，这里的i代表跨越了i个阶梯，即实际走了i+1个阶梯

  1. dp数组如何初始化
    由题目可知dp[0] = 0,dp[1] = 0，dp[2]可以由dp[0]和dp[1]推出，以此类推

  2. 确定遍历顺序
    由递推公式，我们可以很轻易知晓，该题一定是由前向后遍历

  3. 举例推导dp数组
    拿示例2：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] ，来模拟一下dp数组的状态变化，如下：
    746

代码实现

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        int len = cost.length;
        int[] dp = new int[len + 1];

        // 从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始，因此支付费用为0
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 0;

        // 计算到达每一层台阶的最小费用
        for (int i = 2; i <= len; i++) {
            dp[i] = Math.min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
        }

        return dp[len];
    }
}