题目
假设你正在爬楼梯。需要n
阶你才能到达楼顶。每次你可以爬1
或2
个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?
注意:给定n是一个正整数
示例1
- 输入: 2
- 输出: 2
- 解释: 有两种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶
- 2 阶
示例2
- 输入: 3
- 输出: 3
- 解释: 有三种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
- 1 阶 + 2 阶
- 2 阶 + 1 阶
思路
首先,我们举几个栗子:
爬到第一层阶梯只有 一种方法
爬到第二层阶梯有两种方法
爬到第三层阶梯可以由第一层阶梯跨两步,或者由第二层阶梯跨一步
爬到第四层阶梯可以由第二层阶梯跨两步,或者由第三层阶梯跨一步
由此我们得到规律:dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]
,其中i
为阶梯数,dp[i]
为爬i
层阶梯上顶层得方法数
动态规划五部曲
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[i]: 爬到第i层楼梯,有dp[i]种方法 - 确定递推公式
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] - dp数组初始化
需要注意的是:题目中说了n是一个正整数,题目根本就没说n有为0的情况,即只有dp[1]=1,dp[2]=2。 - 确定遍历顺序
从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出,遍历顺序一定是从前向后遍历的 - 举例推导dp数组
代码实现
1 | public int climbStairs(int n) { |
接下来,难度升级,挑战另一个爬楼梯小问题吧!
题目
给你一个整数数组cost
,其中cost[i]
是从楼梯第i
个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用,即可选择向上爬一个或者两个台阶。你可以选择从下标为0
或下标为1
的台阶开始爬楼梯。请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。
示例1
- 输入:cost = [10, 15 ,20]
- 输出:15
- 解释:你将从下标为 1 的台阶开始。
- 支付 15 ,向上爬两个台阶,到达楼梯顶部。
总花费为 15 。
- 支付 15 ,向上爬两个台阶,到达楼梯顶部。
示例2
- 输入:cost = [1 ,100,1 ,1,1 ,100,1 ,1 ,100,1]
- 输出:6
- 解释:你将从下标为 0 的台阶开始。
- 支付 1 ,向上爬两个台阶,到达下标为 2 的台阶。
- 支付 1 ,向上爬两个台阶,到达下标为 4 的台阶。
- 支付 1 ,向上爬两个台阶,到达下标为 6 的台阶。
- 支付 1 ,向上爬一个台阶,到达下标为 7 的台阶。
- 支付 1 ,向上爬两个台阶,到达下标为 9 的台阶。
- 支付 1 ,向上爬一个台阶,到达楼梯顶部。
总花费为 6 。
思路
首先我们要知道题目中说的从0
或者1
开始爬楼梯,便是告诉我们到达0
或者1
台阶是不需要花费体力,从0
或者1
向上跳就需要花费体力。
动态规划五步曲
-
确定dp数组以及下标的含义
dp[i]的定义:到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。 -
确定递推公式
可以有两个途径得到dp[i],一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]
dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。
dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。
即dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
注:给定数组从0索引开始,这里的i代表跨越了i个阶梯,即实际走了i+1个阶梯
-
dp数组如何初始化
由题目可知dp[0] = 0,dp[1] = 0,dp[2]可以由dp[0]和dp[1]推出,以此类推 -
确定遍历顺序
由递推公式,我们可以很轻易知晓,该题一定是由前向后遍历 -
举例推导dp数组
拿示例2:cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] ,来模拟一下dp数组的状态变化,如下:
代码实现
1 | class Solution { |