01背包

题目

有一堆石头，每块石头的重量都是正整数。每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；

如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。

最后，最多只会剩下一块石头。返回此石头最小的可能重量。如果没有石头剩下，就返回 0。

示例1

  • 输入：[2,7,4,1,8,1]
  • 输出：1
  • 解释：
    • 组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
    • 组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
    • 组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
    • 组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。

《代码随想录》算法公开课
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思路

本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了，本题物品的重量为stones[i]，物品的价值也为stones[i]，对应着01背包里的物品重量weight[i]和 物品价值value[i]，与上一题分割等和子集非常相似。

动态规划五步曲

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]表示容量（这里说容量更形象，其实就是重量）为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]。

可以回忆一下01背包中，dp[j]的含义，容量为j的背包，最多可以装的价值为 dp[j]。

相对于 01背包，本题中，石头的重量是 stones[i]，石头的价值也是 stones[i] ，可以 “最多可以装的价值为 dp[j]” == “最多可以背的重量为dp[j]”

  1. 确定递推公式

01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

本题则是：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);

  1. dp数组如何初始化

既然 dp[j]中的j表示容量，那么最大容量（重量）是多少呢，就是所有石头的重量和。

可以把石头遍历一遍，计算出石头总重量 然后除2，得到dp数组的大小。

接下来就是如何初始化dp[j]呢，因为重量都不会是负数，所以dp[j]都初始化为0就可以了，这样在递归公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);中dp[j]才不会初始值所覆盖。

  1. 确定遍历顺序

如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！

  1. 举例推导dp数组

举例，输入：[2,4,1,1]，此时target = (2 + 4 + 1 + 1)/2 = 4 ，dp数组状态图如下
1049-1

最后dp[target]里是容量为target的背包所能背的最大重量。

那么分成两堆石头，一堆石头的总重量是dp[target]，另一堆就是sum - dp[target]。

在计算target的时候，target = sum / 2 因为是向下取整，所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的。

那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]。

代码实现-一维数组

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class Solution {
    public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
        //求数组和
        int sum = 0;
        for (int i : stones) {
            sum += i;
        }

        //向下取整取得背包的最大容量
        int target = sum >> 1;

        //初始化dp数组
        int[] dp = new int[target + 1];
        for (int i = 0; i < stones.length; i++) {
            //采用倒序
            for (int j = target; j >= stones[i]; j--) {
                //两种情况，要么放，要么不放
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        
        return sum - 2 * dp[target];
    }
}

代码实现-二维数组

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class Solution {
    public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
        //对数组求和
        int sum = 0;
        for (int s : stones) {
            sum += s;
        }

        //向下取整获得背包的最大容量
        int target = sum / 2;

        //初始化，dp[i][j]为可以放0-i物品，背包容量为j的情况下背包中的最大价值
        int[][] dp = new int[stones.length][target + 1];

        //dp[i][0]默认初始化为0
        //dp[0][j]取决于stones[0]
        for (int j = stones[0]; j <= target; j++) {
            dp[0][j] = stones[0];
        }

        for (int i = 1; i < stones.length; i++) {
            for (int j = 1; j <= target; j++) {//注意是等于
                if (j >= stones[i]) {
                    //不放:dp[i - 1][j] 放:dp[i - 1][j - stones[i]] + stones[i]
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - stones[i]] + stones[i]);
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }

        
        return (sum - dp[stones.length - 1][target]) - dp[stones.length - 1][target];
    }
}