01背包

题目

给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。

请你找出并返回 strs 的最大子集的大小，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。

如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。

示例1：

  • 输入：strs = [“10”, “0001”, “111001”, “1”, “0”], m = 5, n = 3

  • 输出：4

  • 解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {“10”,“0001”,“1”,“0”} ，因此答案是 4 。 其他满足题意但较小的子集包括 {“0001”,“1”} 和 {“10”,“1”,“0”} 。{“111001”} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。

示例2：

  • 输入：strs = [“10”, “0”, “1”], m = 1, n = 1
  • 输出：2
  • 解释：最大的子集是 {“0”, “1”} ，所以答案是 2 。

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思路

本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包。

动态规划五步曲

  1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。

  1. 确定递推公式

dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。

dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。

然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。

所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1)

此时可以回想一下01背包的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

对比一下就会发现，字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weight[i]），字符串本身的个数相当于物品的价值（value[i]）。

这就是一个典型的01背包！ 只不过物品的重量有了两个维度而已。

  1. dp数组如何初始化

01背包的dp数组初始化为0就可以。

因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。

  1. 确定遍历顺序

一定是外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历！物品就是strs里的字符串，背包容量就是题目描述中的m和n

  1. 举例推导dp数组

以输入：[“10”,“0001”,“111001”,“1”,“0”]，m = 3，n = 3为例

最后dp数组的状态如下所示：
0474-1

代码实现-二维数组

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class Solution {
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m+1][n+1];
        int oneNum, zeNum;
        //分别统计数组中每个字符的0个数和1个数
        for(String s : strs){
            oneNum = 0;
            zeNum = 0;
            for(char c : s.toCharArray()){
                if(c == '0') zeNum++;
                else oneNum++;
            }

                for(int i = m; i >= zeNum; i--){
                    for(int j = n; j >= oneNum; j--){
                        dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i-zeNum][j-oneNum] + 1);
                    }
                }
        }
        return dp[m][n];
    }
}